Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же {\displaystyle x\to a}x\to a величины {\displaystyle \alpha (x)}\alpha(x) и {\displaystyle \beta (x)}\beta(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0}\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0, то {\displaystyle \beta }\beta - бесконечно малая высшего порядка малости, чем {\displaystyle \alpha }\alpha. Обозначают {\displaystyle \beta =o(\alpha )}\beta =o(\alpha ) или {\displaystyle \beta \prec \alpha }\beta\prec\alpha.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty }\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty, то {\displaystyle \beta }\beta - бесконечно малая низшего порядка малости, чем {\displaystyle \alpha }\alpha. Соответственно {\displaystyle \alpha =o(\beta )}\alpha =o(\beta ) или {\displaystyle \alpha \prec \beta }\alpha\prec\beta.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c}\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c (предел конечен и не равен 0), то {\displaystyle \alpha }\alpha и {\displaystyle \beta }\beta являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как {\displaystyle \alpha \asymp \beta }\alpha\asymp\beta или как одновременное выполнение отношений {\displaystyle \beta =O(\alpha )}\beta =O(\alpha ) и {\displaystyle \alpha =O(\beta )}\alpha =O(\beta ). Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения "о большое", что является вольным использованием данного символа.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c}\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина {\displaystyle \beta }\beta имеет {\displaystyle m}m-й порядок малости относительно бесконечно малой {\displaystyle \alpha }\alpha.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Примеры сравнения
При {\displaystyle {x\to 0}}{x\to 0} величина {\displaystyle x^{5}}x^{5} имеет высший порядок малости относительно {\displaystyle x^{3}}x^{3}, так как {\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0}\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0. С другой стороны, {\displaystyle x^{3}}x^{3} имеет низший порядок малости относительно {\displaystyle x^{5}}x^{5}, так как {\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty }\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty.
