Следовательно, по лемме Ито, цена f(t, S(t)) удовлетворяет эволюционному уравнению (13. 5). Винсровский процесс w(t) в формулах (13. 4) и (13. 5) одинаков. Поэтому, комбинируя опцион и базовый актив, эволюционирующих в соответствии с уравнениями (13. 4) и (13. 5), можно составить безрисковый портфель. Он состоит из минус одной единицы производной бумаги и f / S актива.
+++- +++=
обоснование
===- ===
Вернемся к рисковым финансовым инструментам. Предполагается, что цена Sf рискового финансового инструмента i удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
где индекс i (от которого зависят S, //, о, vv) опущен, // и а это средняя доходность и волатильность финансового инструмента, w(t) случайный процесс, описывающий колебания цены. Разумеется, при а = 0 в уравнении (13. 4) финансовый инструмент становится безрисковым, и, как видно из предыдущего, /. J должно быть равно безрисковой ставке г по условию безарбитражности. При а > 0 средняя доходность предполагается большей, чем г, что соответствует существованию платы за риск. Случайный процесс w(t) предполагается винеровским. Это означает, что
и(0) = 0 (процесс начинается в нуле).
Случайная величина w(t + s) - w(t) имеет нормальное
распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией, равной s для любых t, х > 0.
Для произвольных нспсрссскающихся интервалов (/,,/,+. у) и
(t2, t2+s) случайные величины и'(/, + л) - И'(/,) и w(t2 + , v) - w(t2)
независимы.
Изучение случайных процессов лежит за пределами данного раздела. Для понимания материала достаточно представлять себе dw(t) как случайное изменение цены вверх или вниз на одну и ту же величину с вероятностью 1/2 за малое время dt. (Тогда по центральной предельной теореме сумма последовательных изменений в соответствии с бинарным выбором является асимптотически нормальной, что и требуется в определении винсровского процесса). При количественном анализе ценообразования опционов от случайных процессов удастся избавиться. Для этого испольустся лемма Ито в следующей формулировке.
Пусть и>(/) винсровский процесс, функция f(x, t) дважды непрерывно дифференцируема, S(t) удовлетворяет уравнению (13. 4). Тогда
В соответствии с определением, цену производного финансового инструмента можно понимать как функцию времени и цены акции
в момент времени t. Следовательно, по лемме Ито, цена f(t, S(t)) удовлетворяет эволюционному уравнению (13. 5). Винсровский процесс w(t) в формулах (13. 4) и (13. 5) одинаков.
